Håndbog i lineær algebra/Determinanter

En determinant er et tal, der karakteriserer en matrix. Der findes flere forskellige måder at bestemme determinanter på, og flere forskellige nyttige regneregler for determinanter, som er gennemgået herunder.

Bestemmelse af determinanter

Determinanter er kun definerede for kvadratiske matricer. For en matrix ${\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}_{n\times n}$ siger man, at determinanten $det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ er af n'te orden.

Leibniz-formlen

For en matrix ${\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}_{n\times n}=\left[\begin{array}{c}{a}_{ij}\end{array}\right]$ kan determinanten fås af Leibniz-formlen:

$det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$

hvor $\sigma$ angiver en permutation af tallene {1, 2, 3, ..., n}, $S_n$ er mængden af mulige permutationer af disse tal, $\mathrm{sgn}(\sigma )$ er fortegnet for permutationen og $\mathrm{\Pi }$ angiver et produkt (på samme måde som $\mathrm{\Sigma }$ angiver en sum). Specielt fås for n-værdierne 1-3:

n	$det{\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}_{n\times n}$
1	$a_{11}$
2	$a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$
3	$\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}\\ -a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}\end{array}$

Udvikling efter række eller søjle

Determinanten af matricen ${\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}_{n\times n}=\left[\begin{array}{c}{a}_{ij}\end{array}\right]$ kan også udtrykkes vha. n underdeterminanter af (n – 1)'te orden; dette gøres ved at udvikle efter en række eller søjle i $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}.$ Denne metode er specielt nyttig, hvis en række eller søjle indeholder mange nuller, idet der så ved udvikling efter denne vil bortfalde lige så mange af leddene i den passende formel herunder:

Ved udvikling efter den i'te række fås determinanten af

$det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$	$=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}{D}_{ij}$
	$=(-1{)}^{i+1}{a}_{i1}{D}_{i1}+(-1{)}^{i+2}{a}_{i2}{D}_{i2}+\cdots +(-1{)}^{i+n}{a}_{in}{D}_{in}$

Ved udvikling efter den j'te søjle fås determinanten af

$det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$	$=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}{D}_{ij}$
	$=(-1{)}^{1+j}{a}_{1j}{D}_{1j}+(-1{)}^{2+j}{a}_{2j}{D}_{2j}+\cdots +(-1{)}^{n+j}{a}_{nj}{D}_{nj}$

Herover betegner $D_{ij}$ den (i, j)'te underdeterminant hørende til $\underset{\_}{\underset{\_}{A}},$ dvs. determinanten til den matrix, der fremkommer ved at fjerne den i'te række og den j'te søjle fra $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}.$ Størrelsen

$(-1{)}^{i+j}{D}_{ij}$

kaldes komplementet til matrixelementet $a_{ij}.$

Regneregler og særtilfælde

Matrixegenskaber og determinanter

For en enhedsmatrix $\underset{\_}{\underset{\_}{I}}$ gælder

$det\underset{\_}{\underset{\_}{I}}=1$

For en diagonal- eller trekantmatrix ${\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}_{n\times n}=\left[\begin{array}{c}{a}_{ij}\end{array}\right]$ gælder

$det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\prod _{i=1}^n{a}_{ii}=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$

Hvis en kvadratisk matrix $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ indeholder en nulrække, da gælder

$det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=0$

For en kvadratisk matrix ${\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}_{n\times n}$ gælder

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ er regulær $\iff det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\ne 0\iff \rho (\underset{\_}{\underset{\_}{A}})=n$

En matrix er regulær netop hvis den er bijektiv, og bijektiv kun når den er kvadratisk. Den kan dog godt være kvadratisk uden at være regulær, dvs. regulær ⇒ kvadratisk.
NB: En matrix behøver ikke være kvadratisk for at kunne være regulær.

Transponering, invertering og multiplikation af matricer

For en kvadratisk matrix $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ gælder

$det{\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}^T=det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$

For en regulær kvadratisk matrix $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ gælder

$det({\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}^{-1})=\frac{1}{det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}$

For to matricer ${\underset{\_}{\underset{\_}{A}}}_{n\times n}$ og ${\underset{\_}{\underset{\_}{B}}}_{n\times n}$ gælder

$det(\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\underset{\_}{\underset{\_}{B}})=det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\cdot det\underset{\_}{\underset{\_}{B}}$

Elementaroperationer på matricer

Hvis en matrix $\underset{\_}{\underset{\_}{B}}$ frembringes ved én af disse elementaroperationer på en anden matrix $\underset{\_}{\underset{\_}{A}},$ fås dens determinant af:

• Ombytning af 2 rækker:

$det\underset{\_}{\underset{\_}{B}}=-det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$

• Multiplikation af 1 række med tal k:

$det\underset{\_}{\underset{\_}{B}}=kdet\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$

• Rækkeoperation (træk en række fra en anden):

$det\underset{\_}{\underset{\_}{B}}=det\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$