Matematik A/Vektorer i rummet

Definition

En vektor i rummet, er en vektor der i modsætning til en vektor i planet, også har z-koordinatet. En rummelig vektor noteres som:

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ eller $\overrightarrow{a}=(x,y,z)$

Definitionen bevares dog, nemlig at en vektor er noget der har størrelse og retning.

Længde af vektor

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

Kan findes ved formlen:

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Bemærk at man benævner en vektors længde, ved at sætte |-tegn rundt om vektorens navn.

Skalarprodukt (prikprodukt)

Ved skalarproduktet $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ af to vektorer

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$ og $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)$

forstår man tallet:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

Afstand punkt til linje

Afstanden fra punktet P til linjen l gennem P₀ med retningsvektor $\overrightarrow{r}$ er dist(P,l) = $\frac{|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{P_{0}P}|}{|\overrightarrow{r}|}$

Afstand fra punkt til plan

Afstanden fra punktet P₁(x₁,y₁,z₁) til planen α med ligning $a\ast x+b\ast y+c\ast z+d=0$

er

dist(P₁,α) = $\frac{|a\ast x_1+b\ast y_1+c\ast z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$